Волатильность является наиболее распространенной мерой риска, но она имеет несколько разновидностей. В предыдущей статье мы показали, как рассчитать простую историческую волатильность. (Чтобы прочитать эту статью, см. Использование волатильности для оценки будущего риска .) В этой статье мы улучшим простоту волатильности и обсудим экспоненциально взвешенную скользящую среднюю (EWMA).

Исторический Vs. Подразумеваемая волатильность

Во-первых, давайте рассмотрим эту метрику. Существует два широких подхода: историческая и подразумеваемая (или неявная) волатильность. Исторический подход предполагает, что прошлое является прологом; мы измеряем историю в надежде, что она прогностическая. С другой стороны, подразумеваемая волатильность игнорирует историю; он решает для волатильности, подразумеваемой рыночными ценами. Он надеется, что рынок лучше знает и что рыночная цена содержит, даже если неявно, консенсусную оценку волатильности.

Если мы сосредоточимся только на трех исторических подходах (слева выше), они имеют две общие черты:

1. Рассчитать серию периодических возвратов
2. Применить весовую схему >

Сначала вычислим периодический возврат. Обычно это серия ежедневных возвратов, где каждое возвращение выражается в постоянно усугубляемых условиях. Для каждого дня мы берем натуральный журнал соотношения цен на акции (то есть цена сегодня делятся на цену вчера и т. Д.).

Это дает серию ежедневных возвратов от u

i _{до u} i-m _{, в зависимости от того, сколько дней (m = дней) мы измеряем.} Это приводит нас к второму шагу: здесь три подхода различаются. В предыдущей статье мы показали, что при нескольких приемлемых упрощениях простая дисперсия - это среднее значение квадратов:

Обратите внимание, что это суммирует каждую периодическую доходность, а затем делит эту сумму на количество дней или наблюдений (м). Таким образом, это всего лишь среднее число квадратов периодических возвратов. Иными словами, каждому квадрату возвращается равный вес. Таким образом, если альфа (a) является весовым коэффициентом (в частности, a = 1 / m), то простая дисперсия выглядит примерно так:

EWMA улучшается при простой дисперсии

Слабость этого подхода заключается в том, что все возвращается заработать одинаковый вес. Вчерашний (очень недавний) доход больше не влияет на дисперсию, чем возврат в прошлом месяце. Эта проблема фиксируется с использованием экспоненциально взвешенной скользящей средней (EWMA), в которой более поздние результаты имеют больший вес по дисперсии.
Экспоненциально взвешенная скользящая средняя (EWMA) вводит лямбда, которая называется параметром сглаживания. Лямбда должна быть меньше единицы. При этом условии вместо равных весов каждый квадрат возвращает взвешенный множитель следующим образом:

Например, RiskMetrics

TM ^{, _{компания по управлению финансовыми рисками, имеет тенденцию использовать лямбда 0.94, или 94%. В этом случае первый (последний) квадрат периодического возврата взвешен (1-0,94) (94)}} 0 ^{= 6%. Следующий квадрат возвращает просто лямбда-кратное предыдущему весу; в этом случае 6% умножается на 94% = 5. 64%. И вес третьего предшествующего дня равен (1-0,94) (0,94)} 2 ^{= 5. 30%.} Это значение «экспоненциального» в EWMA: каждый вес является постоянным множителем (т. Е. Lambda, который должен быть меньше одного) веса предыдущего дня. Это обеспечивает дисперсию, взвешенную или смещенную по отношению к более поздним данным. (Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с листом Excel для волатильности Google.) Ниже приведена разница между просто волатильностью и EWMA для Google.

Простая волатильность эффективно взвешивает каждый периодический возврат на 0. 196%, как показано в столбце O (у нас было два года ежедневных данных о ценах на акции, то есть 509 ежедневных доходов и 1/509 = 0. 196%). Но заметьте, что столбец P присваивает вес 6%, затем 5. 64%, затем 5. 3% и так далее. Это единственная разница между простой дисперсией и EWMA.

Помните: после суммирования всей серии (в столбце Q) мы имеем дисперсию, которая является квадратом стандартного отклонения. Если мы хотим волатильности, нам нужно помнить о том, чтобы взять квадратный корень этой дисперсии.

В чем разница в ежедневной волатильности между дисперсией и EWMA в случае Google? Это важно: простая дисперсия давала нам ежедневную волатильность в 2,4%, но EWMA давала ежедневную волатильность всего 1,4% (подробности см. В электронной таблице). Видимо, волатильность Google устроилась совсем недавно; поэтому простая дисперсия может быть искусственно высокой.

Сегодняшняя дисперсия является функцией дисперсии предшествующего дня

Вы заметите, что нам нужно было вычислить длинную серию экспоненциально уменьшающихся весов. Мы не будем делать математику здесь, но одна из лучших особенностей EWMA состоит в том, что вся серия удобно сводится к рекурсивной формуле:

Рекурсивный означает, что сегодняшние ссылки на дисперсию (т. Е. Являются функцией дисперсии предыдущего дня) , Вы также можете найти эту формулу в электронной таблице, и она дает тот же результат, что и вычисление длинной руки! В нем говорится: сегодняшняя дисперсия (под EWMA) равна вчерашней дисперсии (взвешенная по лямбда) плюс вчерашний квадрат возврата (взвешенный на один минус лямбда). Обратите внимание на то, что мы просто добавляем два слагаемых: вчерашняя взвешенная дисперсия и взвешенный квадратный возврат вчера.

Тем не менее, лямбда - это наш параметр сглаживания. Более высокая лямбда (например, 94% от RiskMetric) указывает на более медленный спад в серии - в относительном выражении у нас будет больше точек данных в серии, и они будут «падать» медленнее. С другой стороны, если мы уменьшаем лямбда, мы указываем на более высокий спад: весы падают быстрее и, как прямой результат быстрого распада, используются меньше точек данных. (В электронной таблице лямбда является входом, поэтому вы можете поэкспериментировать с ее чувствительностью).

Резюме

Волатильность - это мгновенное стандартное отклонение запаса и наиболее распространенная метрика риска.Это также квадратный корень дисперсии. Мы можем измерять отклонения исторически или неявно (подразумеваемая волатильность). При историческом измерении самым простым методом является простая дисперсия. Но слабость с простой дисперсией - все возвращения получают одинаковый вес. Поэтому мы сталкиваемся с классическим компромиссом: мы всегда хотим получить больше данных, но чем больше данных, тем больше наш расчет будет разбавлен удаленными (менее релевантными) данными. Экспоненциально взвешенная скользящая средняя (EWMA) улучшается при простой дисперсии, присваивая веса периодическим возвращениям. Делая это, мы можем использовать большой размер выборки, но также придать больший вес более поздним доходам.