Одним из наиболее распространенных способов оценки риска является использование моделирования методом Монте-Карло (MCS). Например, чтобы рассчитать стоимость риска (VaR) портфеля, мы можем запустить симуляцию Монте-Карло, которая пытается предсказать худшую возможную потерю для портфеля с учетом доверительного интервала за определенный временной горизонт - нам всегда нужно указать два условия для VaR: доверие и горизонт. (Для соответствующего чтения см. Использование и ограничения волатильности и Введение в значение с угрозой (VAR) - часть 1 и часть 2 .)

В этой статье мы рассмотрим базовый MCS, применяемый к цене акций. Нам нужна модель для определения поведения цены акций, и мы будем использовать одну из наиболее распространенных моделей финансирования: геометрическое броуновское движение (GBM). Поэтому, хотя симуляция Монте-Карло может относиться к универсуму различных подходов к симуляции, мы начнем здесь с самых простых.

С чего начать Моделирование в Монте-Карло - это попытка предсказать будущее много раз. В конце моделирования тысячи или миллионы «случайных испытаний» дают распределение результатов, которые могут быть проанализированы. Основные этапы:

1. Укажите модель (например, геометрическое броуновское движение)
2. Генерировать случайные исследования
3. Обработать выход

1. Укажите модель (например, GBM)
В этой статье мы будем использовать геометрическое броуновское движение (GBM), которое технически является марковским процессом. Это означает, что цена акций следует за случайным ходом и согласуется (по крайней мере) с слабой формой эффективной рыночной гипотезы (EMH): информация о прошлых ценах уже включена и следующее ценовое движение «условно независимо» от прошлого ценовые движения. (Подробнее о EMH читайте Работа через эффективную рыночную гипотезу и Что такое эффективность рынка? )

Формула для GBM приведена ниже, где «S» - цена акций, «m» (греческий mu) - ожидаемый доход, «s» (греческая сигма) - стандартное отклонение «t» - это время, а «e» (греческий epsilon) - это случайная величина:

Если мы перестроим формулу для решения только для изменения цены акций, мы видим, что GMB говорит об изменении цены акций это цена акций «S», умноженная на два термина, найденные в скобках ниже:

Первый термин - «дрейф», а второй термин - «шок». Для каждого периода времени наша модель предполагает, что цена «дрейфует» на ожидаемый доход. Но дрифт будет шокирован (добавлен или вычтён) случайным шоком. Случайным ударом будет стандартное отклонение «s», умноженное на случайное число «e». Это просто способ масштабирования стандартного отклонения.

В этом суть GBM, как показано на рисунке 1. Цена акций следует за несколькими шагами, где каждый шаг представляет собой дрейф плюс / минус случайный шок (сам по себе является функцией стандартного отклонения): > Рисунок 1

2.Генерировать случайные испытания

Вооружившись спецификацией модели, мы затем приступаем к выполнению произвольных испытаний. Для иллюстрации мы использовали Microsoft Excel для запуска 40 проб. Имейте в виду, что это нереалистично маленький образец; большинство симуляций или «симов» проводят не менее нескольких тысяч испытаний. В этом случае предположим, что акции начинаются в ноль с ценой 10 долларов. Вот диаграмма результата, где каждый временной шаг (или интервал) составляет один день, а серия работает в течение десяти дней (в итоге: сорок испытаний с ежедневными шагами в течение десяти дней):

Рисунок 2: Геометрическое броуновское движение > Результатом является сорок моделируемых цен на акции в конце 10 дней. Никто не упал ниже 9 долларов, а один превысил 11 долларов.

3. Обработка результата

Моделирование создало распределение гипотетических будущих результатов. Мы могли бы сделать несколько вещей с выходом. Если, например, мы хотим оценить VaR с доверием 95%, тогда нам нужно всего лишь найти результат с тридцать восьмым ранжированием (третий - худший результат). Это потому, что 2/40 составляет 5%, поэтому два худших результата находятся в самом низком 5%.

Если мы складываем проиллюстрированные результаты в бункеры (каждый бит составляет одну треть от 1 доллара США, поэтому три буфера покрывают интервал от 9 до 10 долларов США), мы получим следующую гистограмму: Рисунок 3

Запомнить что наша модель GBM предполагает нормальность: норма прибыли обычно распределяется с ожидаемым возвратом (в среднем) «m» и стандартным отклонением «s». Интересно, что наша гистограмма выглядит ненормально. Фактически, с большим количеством проб, он не будет стремиться к нормальности. Вместо этого он будет стремиться к логнормальному распределению: резкое падение слева от среднего и сильно искаженный «длинный хвост» справа от среднего. Это часто приводит к потенциально запутанной динамике для начинающих студентов:

Цена

возвращает

• обычно распределяется. Цены уровни
• обычно логарифмически распределены. Подумайте об этом так: запас может вернуться вверх или вниз на 5% или 10%, но через определенный промежуток времени цена акций не может быть отрицательной. Кроме того, рост цен на рост имеет эффект компаундирования, в то время как снижение цены на нижней стороне уменьшает базу: теряйте 10%, и вам остается меньше потерять в следующий раз. Вот диаграмма логнормального распределения, наложенная на наши иллюстрированные предположения (например, начальная цена $ 10): Рисунок 4

Резюме

Моделирование методом Монте-Карло применяет выбранную модель (модель, которая определяет поведение инструмент) к большому набору случайных испытаний в попытке создать правдоподобный набор возможных будущих результатов. Что касается имитации цен на акции, наиболее распространенной моделью является геометрическое броуновское движение (GBM). GBM предполагает, что постоянный дрейф сопровождается случайными шоками. Хотя возврат периода под GBM обычно распределяется, последовательные многопериодные (например, десятидневные) уровни цены логнормально распределяются.

Ознакомьтесь с учебным пособием Дэвида Харпера, Моделирование Монте-Карло с геометрическим броуновским движением

, чтобы узнать больше об этой теме.