По состоянию на январь 2015 года IBM IBMInternational Business Machines Corp151. 58-1. 15% Создано с Highstock 4. 2. 6 Акции торгуются по цене $ 155, и вы ожидаете, что в следующем году она будет выше. Вы намерены купить опцион колл на складе IBM с ценой исполнения банкоматов в размере 155 долларов США, ожидая получить высокую процентную доходность на основе небольшой стоимости опциона (опционная премия) по сравнению с покупкой акций с высокой ценой покупки. Какова должна быть справедливая стоимость этого варианта вызова для IBM? (для соответствующего чтения см. Три способа получения прибыли с использованием опций вызова )

Сегодня доступно несколько различных готовых методов для оценки параметров, в том числе модели Black-Scholes и биномиальной модели дерева, которые могут дать быстрые ответы. Но каковы основные факторы и концепции вождения для таких моделей оценки? Можно ли подготовить что-то подобное на основе концепции этих моделей?

Здесь мы рассмотрим строительные блоки, базовые концепции и факторы, которые могут быть использованы в качестве основы для построения модели оценки для актива, такого как параметры, обеспечивающие параллельное сравнение с происхождением черно- Модель Scholes (BS) (для дополнительного чтения, см. Варианты ценообразования: модель Black-Scholes ).

В этой статье не собирается оспаривать предположения или любые другие факторы модели БС (это совсем другая тема); скорее, он призван объяснить основную концепцию модели Блэка-Шоулза, а также идею разработки модели оценки.

World Before Black-Scholes

До Black-Scholes широко применялась модель ценообразования на основе капитала (CAPM) на основе равновесия. Доходы и риски были сбалансированы друг с другом, исходя из предпочтений инвестора, т.е. е. ожидается, что высокоприоритетный инвестор получит компенсацию (потенциал) более высокой доходности в аналогичной пропорции.

Модель BS находит свои корни в CAPM. По словам Фишера Блэка, « я применил модель ценообразования на основные средства к каждому моменту в жизни ордера, за любую возможную цену акций и гарантию стоимости ».

К сожалению, CAPM не смог выполнить требование о предоставлении ордера (опцион).

Black-Scholes остается первой моделью, основанной на концепции арбитража, что делает переход парадигмы от моделей на основе рисков (таких как CAPM). Эта новая модель BS-модели заменила концепцию возврата акций CAPM с признанием того факта, что совершенно хеджируемая позиция будет зарабатывать безрисковую ставку. Это привело к изменениям риска и прибыли и установило концепцию арбитража, в которой оценки выполняются на основе предположений о концепции, нейтральной с точки зрения риска - хеджированная (безрисковая) позиция должна приводить к безрисковой норме прибыли.

Разработка модели ценообразования (Black-Scholes)

Начнем с определения проблемы, ее количественной оценки и разработки основы для ее решения. Продолжим наш пример по оценке опции вызова ATM в IBM с ценой исполнения $ 155 с истечением одного года.

На основе базового определения опциона колла, если цена акций не достигнет уровня цены исполнения, выигрыш остается равным нулю. Опубликуйте этот уровень, выигрыш увеличивается линейно (то есть однодолларовое увеличение базовой ставки обеспечит выигрыш в один доллар от опциона «колл»).

Предполагая, что покупатель и продавец согласны с справедливой оценкой (включая нулевую цену), теоретическая справедливая цена для этого опциона для звонков (для соответствующего чтения, см. Понятие цены опциона ) будет: > Цена опциона колл = $ 0, если базовый <забастовка (красный график)

• цена опциона колл = (базовый - старт), если базовый> = забастовка (синий график)
• Это представляет собой внутреннее значение опции и выглядит совершенный с точки зрения покупателя опциона на покупку. В красном регионе как у покупателя, так и у продавца есть справедливая оценка (нулевая цена для продавца, нулевой выигрыш для покупателя). Тем не менее, задача оценки начинается с синего региона, поскольку покупатель имеет преимущество положительного выигрыша, в то время как продавец страдает убытком (при условии, что базовая цена превышает цену исполнения). Здесь покупатель имеет преимущество перед продавцом с нулевой ценой. Ценообразование должно быть отличным от нуля, чтобы компенсировать продавцу риск, который он принимает.

В первом случае (красный график) теоретически, нулевая цена получена продавцом, и у покупателя есть нулевой выигрыш (справедливый для обоих). В последнем случае (синий график) дифференциал между базовым и забастовочным способом должен быть оплачен продавцом покупателю. Риск продавца распространяется на весь год. Например, базовая цена акций может двигаться очень высоко (скажем, до 200 долларов США за четыре месяца), и продавец обязан заплатить покупателю дифференциал в размере 45 долларов США.

Таким образом, это сводится к:

Будет ли цена базового креста ценой исполнения?

1. Если это так, насколько высока базовая цена (как это будет определять выигрыш для покупателя)?
2. Это указывает на большой риск, допущенный продавцом, что приводит к вопросу - почему кто-то продал бы такой призыв, если они не получают ничего за риск, который они берут?

Наша цель - получить единую цену, которую продавец должен взимать с покупателя, что может компенсировать ему общий риск, который он принимает за год - как в области нулевого платежа (красный), так и в линейном платеже регион (синий). Цена должна быть справедливой и приемлемой как для покупателя, так и для продавца. Если нет, то тот, кто находится в невыгодном положении с точки зрения оплаты или получения несправедливой цены, не будет участвовать в рынке, тем самым побеждая цель торгового бизнеса. Модель Black-Scholes нацелена на установление этой справедливой цены за счет постоянного изменения цены акций, временной стоимости денег, цены исполнения опциона и времени истечения срока действия опциона.Подобно модели BS, давайте посмотрим, как мы можем приблизиться, чтобы оценить это для нашего примера, используя наши собственные методы.

Как оценить внутреннюю ценность в синем регионе?

Существует несколько способов предсказать ожидаемое движение цены в будущем в течение заданного периода времени:

Можно проанализировать аналогичные изменения цен той же продолжительности в недавнем прошлом. Историческая цена закрытия IBM указывает, что за последний год (2 января 2014 года, до 31 декабря 2014 года) цена упала до 160 долларов. 44 от 185 долларов. 53, снижение на 13,5%. Можем ли мы заключить -13. 5% для IBM?

• Еще одна подробная проверка показывает, что она коснулась годового максимума в 199 долларов. 21 (10 апреля 2014 года) и годовой минимум в 150 долларов. 5 (16 декабря 2014 года). Основываясь на них в стартовый день, 2 января 2014 года, а цена закрытия - 185 долларов. 53, процентное изменение варьируется от +7. 37% -18. 88%. Теперь диапазон вариаций выглядит намного шире по сравнению с ранее рассчитанным снижением на 13,5%.
• Аналогичный анализ и наблюдения за историческими данными могут быть продолжены. Чтобы продолжить разработку нашей ценовой модели, давайте примем эту простую методологию для оценки будущих колебаний цен.

Предположим, что IBM ежегодно растет на 10% (по историческим данным за последние 20 лет). Базовая статистика показывает, что вероятность изменения цен на акции IBM, колеблющаяся около + 10%, будет намного выше, чем вероятность того, что цена IBM повысится на 20% или снизится на 30%, если предположить, что исторические шаблоны повторяются. Собирая аналогичные исторические данные с вероятностными значениями, общая ожидаемая отдача от цены акций IBM за один год может быть рассчитана как средневзвешенное значение вероятностей и связанных с ними доходностей. Предположим, что исторические данные о ценах IBM указывают на следующие шаги:

(- 10%) двадцать пять процентов раз,

• + 10% тридцать пять процентов раз,
• + 15% двадцать процентов раз,
• + 20% в десять процентов раз,
• + 25% в пять процентов раз, а
• (- 15%) в пять процентов раз.
• Следовательно, средневзвешенная (или ожидаемая величина) составляет:

(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% я. е. в среднем ожидается, что цена на акции IBM вернется +6. 5% за один год за каждый доллар. Если кто-то покупает акции IBM с годичным горизонтом и покупной ценой в 155 долларов, можно ожидать чистый доход 155 * 6. 5% = 10 долларов США. 075.
Однако это для возврата запаса. Нам нужно искать аналогичные ожидаемые результаты для опции вызова.

Исходя из нулевого выигрыша цены ниже цены исполнения (существующий $ 155 - вызов ATM), все отрицательные ходы будут генерировать нулевые выигрыши, в то время как все положительные шаги выше цены исполнения будут давать эквивалентный выигрыш. Ожидаемый возврат для опции вызова будет таким:

(

-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% я. е. за каждые 100 долларов, вложенные в покупку этого варианта, можно ожидать $ 9. 75 (на основании вышеприведенных допущений).

Тем не менее, это все еще остается ограниченным справедливой оценкой внутренней суммы опциона и неправильно отражает риск, понесенный продавцом опциона, за высокие колебания, которые могут произойти в промежуточный период (в случае вышеупомянутого интуитивного высокие и низкие цены).В дополнение к внутренней стоимости, какая цена может быть согласована покупателем и продавцом, чтобы продавец был справедливо компенсирован риском, который он принимает на один год?

Эти колебания могут сильно различаться, и у продавца может быть своя интерпретация того, сколько он хочет получить за это. Модель Black-Scholes предполагает варианты европейского типа, т.е. е. никаких упражнений до истечения срока действия. Таким образом, он не подвержен влиянию промежуточных колебаний цен и основывает свою оценку на сквозных торговых днях.

В торговле в реальном времени эта волатильность играет важную роль в определении опционных цен. Синяя функция выплат, которую мы обычно видим, на самом деле является выигрышем по истечении срока действия. Реально, цена опциона (розовый график) всегда выше, чем выигрыш (синий график), указывая цену, полученную продавцом, чтобы компенсировать его способности к риску. Вот почему цена опциона также известна как опция «премиум» - по существу, указывающая премию за риск.

Это может быть включено в нашу модель оценки, в зависимости от того, насколько волатильность ожидается в цене акций и сколько ожидаемой стоимости это даст.

Модель Блэка-Шоулза делает это эффективно (конечно, в пределах своих собственных предположений) следующим образом:

Модель БС предполагает логнормальное распределение движений цен акций, что оправдывает использование N (d1) и N (d2 ).

В первой части S указывает текущую цену акции.

N (d1) указывает вероятность текущего движения цены акций.
Если эта опция идет в деньгах, позволяя покупателю реализовать этот вариант, он получит одну долю в базовом фонде IBM. Если трейдер осуществляет его сегодня, то S * N (d1) представляет ожидаемое значение данного дня.

Во второй части X указывает цену исполнения.

N (d2) представляет вероятность того, что цена акций будет выше цены исполнения.

Итак, X * N (d2) представляет ожидаемое значение оставшейся цены акций
выше цены исполнения. Поскольку модель Блэка-Шоулза предполагает варианты европейского стиля, в которых упражнение возможно только в конце, ожидаемое значение, представленное выше X * N (d2), должно быть дисконтировано за временную стоимость денег. Следовательно, последняя часть умножается на экспоненциальный член, поднятый до процентной ставки за период времени.

Чистая разница двух условий указывает на стоимость цены опциона на сегодняшний день (при этом второй срок дисконтируется)

В наших рамках такие ценовые движения могут быть более точно включены несколькими способами:

Дальнейшее уточнение ожидаемых ожидаемых расчетов путем расширения диапазона до более мелких интервалов с целью включения внутридневных / внутрипроцессных ценовых ходов

• Включение текущих рыночных данных, поскольку оно отражает текущую активность дня (аналогично предполагаемой волатильности)
• Ожидаемая прибыль от истечения срока действия дату, которая может быть снижена до сегодняшнего дня для реалистичных оценок и далее уменьшена с сегодняшнего значения
• Таким образом, мы видим, что для количественного анализа не существует ограничений на предположения, методологии и настройки.В зависимости от продаваемого актива или инвестиций, которые могут быть рассмотрены, может быть разработана саморазвитая модель. Важно отметить, что волатильность ценовых движений разных классов активов сильно варьируется - акции имеют котировку волатильности, форекс волатильности нахмурился - и пользователи должны учитывать применимые модели волатильности в своих моделях. Допущения и недостатки являются неотъемлемой частью любой модели, и хорошо осведомленное применение моделей в сценариях реального мира может дать лучшие результаты. (для соответствующего чтения см.

Простой обзор количественного анализа ) Итог

Со сложными активами, выходящими на рынки или даже обычными ванильными активами, попадающими в сложные формы торговли, количественное моделирование и анализ становится обязательным для оценки. К сожалению, ни одна математическая модель не приходит без набора недостатков и предположений. Наилучший подход заключается в том, чтобы свести допущения к минимуму и знать о предполагаемых недостатках, которые могут помочь в построении линий по использованию и применимости моделей.