В какой-то момент вашей жизни вам, возможно, пришлось сделать ряд фиксированных платежей в течение определенного периода времени - например, арендные или автомобильные платежи - или получили серию платежей за определенный период времени, например, купоны облигаций. Они называются аннуитетами. Если вы понимаете временную стоимость денег, вы готовы узнать об аннуитетах и ​​о том, как рассчитываются их текущие и будущие значения.

Что такое аннуитеты?

Аннуитеты - это, по сути, серия фиксированных платежей, которые требуются от вас или выплачиваются вам с определенной частотой в течение фиксированного периода времени. Наиболее распространенные частоты оплаты - ежегодно, раз в полгода (два раза в год), ежеквартально и ежемесячно. Существует два основных вида аннуитетов: обычные аннуитеты и аннуитеты.

• Обычный аннуитет: платежи необходимо в конце каждого периода. Например, прямые облигации обычно выплачивают купонные выплаты в конце каждого шести месяцев до даты погашения облигаций.
• Аннуитет: Платежи требуются в начале каждого периода. Аренда - пример аннуитета. Обычно вы должны платить арендную плату, когда вы сначала переходите в начале месяца, а затем в первый месяц каждого месяца.

Поскольку текущие и будущие расчеты стоимости для обычных аннуитетов - и аннуитеты должны немного отличаться - мы сначала обсудим текущий и будущий расчет стоимости для обычных аннуитетов.

Вычисление будущей стоимости обычного аннуитета

Если вы знаете, сколько вы можете инвестировать за период в течение определенного периода времени, будущая стоимость (FV) обычной формулы аннуитета полезна для определения того, в будущем, инвестируя в вашу процентную ставку. Если вы делаете платежи по кредиту, будущая стоимость полезна при определении общей стоимости кредита.

Давайте теперь рассмотрим пример 1. Рассмотрим следующий график денежных потоков аннуитета:

Чтобы рассчитать будущую стоимость аннуитета, мы должны рассчитать будущую стоимость каждого денежного потока. Предположим, что вы получаете $ 1 000 каждый год в течение следующих пяти лет, и вы вложили каждый платеж в 5%. На следующей диаграмме показано, сколько у вас было бы в конце пятилетнего периода:

Поскольку мы должны добавить будущую стоимость каждого платежа, вы могли заметить, что если у вас есть обычный аннуитет со многими денежными потоками, для вычисления всех будущих значений потребуется много времени, а затем добавить их вместе. К счастью, математика дает формулу, которая служит ярлыком для нахождения накопленной стоимости всех денежных потоков, полученных от обычного аннуитета:

где C = денежный поток за период i = процентная ставка n = количество платежи

Используя приведенную выше формулу для примера 1 выше, это результат:

= 1000 $ * [5.53] = 5525 долл. США. 63

Обратите внимание, что разница в 1 цент между $ 5, 525. 64 и $ 5, 525. 63 обусловлена ​​ошибкой округления при первом вычислении. Каждое значение первого вычисления должно округляться до ближайшего копейки - чем больше вы должны округлять числа при вычислении, тем вероятнее будут ошибки округления. Таким образом, приведенная выше формула не только обеспечивает ярлык для нахождения FV обычного аннуитета, но и дает более точный результат.

Вычисление текущей стоимости обычного аннуитета

Если вы хотите определить сегодняшнюю стоимость будущей серии платежей, вам нужно использовать формулу, которая вычисляет текущее значение (PV) обычного аннуитета. Это формула, которую вы использовали бы как часть расчета цен на облигации. PV обычного аннуитета рассчитывает текущую стоимость купонных платежей, которые вы получите в будущем.

Для примера 2 мы будем использовать тот же график денежных потоков, что и в примере 1. Для получения общей дисконтированной стоимости нам нужно взять текущую стоимость каждого будущего платежа и, как это было в примере 1 , добавьте денежные потоки вместе.

Опять же, вычисление и добавление всех этих значений займет много времени, особенно если мы ожидаем много будущих платежей. Таким образом, мы можем использовать математический ярлык для PV обычного аннуитета.

где C = денежный поток за период i = процентная ставка n = количество платежей

Формула предоставляет нам PV в несколько простых шагов. Вот расчет аннуитета, представленного на диаграмме для примера 2:

= 1000 $ * [4. 33] = 4329 долл. США. 48

Расчет будущей стоимости аннуитета

Когда вы получаете или платите денежные потоки за аннуитет, график расходования денежных средств будет выглядеть следующим образом:

Поскольку каждый платеж в серии делается на один период раньше, нам нужно отказаться от формулы один период назад. Небольшое изменение формулы FV-of-the-common-annuity учитывает платежи, происходящие в начале каждого периода. В примере 3 давайте проиллюстрируем, почему эта модификация необходима, когда каждый платеж в размере 1 000 долларов США производится в начале периода, а не в конце (процентная ставка по-прежнему составляет 5%):

Обратите внимание, что когда платежи производятся на начале периода каждая сумма удерживается дольше в конце периода. Например, если 1 000 долларов США были инвестированы 1 января, а не 31 декабря каждый год, последний платеж до того, как мы оценим наши инвестиции в конце пяти лет (31 декабря), был бы сделан годом ранее (1 января) а не тот день, когда он ценится. Будущее значение формулы аннуитета затем будет читать:

где C = денежный поток за период i = процентная ставка n = количество платежей

Следовательно,

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = 5801 долл. США. 91

Расчет текущей стоимости аннуитетного долга

Для приведенной стоимости формулы аннуитета нам необходимо дисконтировать формулу на один период вперед, поскольку платежи удерживаются на более короткий промежуток времени. При расчете текущей стоимости мы предполагаем, что первый платеж был сделан сегодня.

Мы могли бы использовать эту формулу для расчета текущей стоимости ваших будущих арендных платежей, как указано в аренде, которую вы подписываете у своего арендодателя. Скажем, для примера 4, что вы делаете свою первую арендную плату в начале месяца и оцениваете текущую стоимость вашей пятимесячной аренды в тот же день. Вычисление текущей стоимости будет работать следующим образом:

Конечно, мы можем использовать формулу для вычисления текущей стоимости аннуитета:

где C = денежный поток за период i = процентная ставка > n = количество платежей Следовательно,

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= 4545 долларов США. 95 Напомним, что настоящая стоимость обычного аннуитета вернула стоимость в 4,329 доллара США. 48. Текущая стоимость обычного аннуитета меньше, чем стоимость аннуитета, потому что, если мы вернемся назад к будущему платежу, его текущая стоимость - каждый платеж или денежный поток в обычном аннуитете происходит на один период дальше в будущее.

Нижняя строка

Теперь вы можете увидеть, как аннуитеты влияют на то, как вы вычисляете текущую и будущую стоимость любой суммы денег. Помните, что частоты платежей или количество платежей и время, в которое эти платежи совершаются (будь то в начале или в конце каждого периода оплаты), являются всеми переменными, которые вам необходимо учитывать при расчетах.