Карл Фридрих Гаусс был блестящим математиком, который жил в начале 1800-х годов и дал мировые квадратичные уравнения, методы анализа наименьших квадратов и нормальное распределение. Хотя Пьер Симон Лаплас считался оригинальным основателем нормального распространения в 1809 году, Гаусу часто дают кредит на открытие, потому что он писал о концепции на раннем этапе, и это было предметом много изучения математиками в течение 200 лет. Фактически, это распределение часто называют «распределением Гаусса». Все исследование статистики происходило от Гаусса и позволяло нам понимать рынки, цены и вероятности среди других приложений. Современная терминология определяет нормальное распределение как кривую звонка с «нормальными» параметрами. И поскольку единственный способ понять Гаусса и кривую колокола - понять статистику, эта статья построит кривую колокола и применит ее к торговому примеру.

Среднее, медианное и режим
Существуют три метода для определения распределений: средний, средний и режим. Средства учитываются путем добавления всех оценок и деления на количество баллов для получения среднего значения. Медиана факторизуется добавлением двух средних чисел выборки и делением на два, или просто просто принимая среднее значение из порядковой последовательности. Режим является наиболее частым из чисел в распределении значений. Лучший способ получить представление о последовательности чисел - использовать средства, потому что он усредняет все числа и, таким образом, наиболее рефлексивно относится ко всему распределению.

Это был подход Гаусса и его предпочтительный метод. Здесь мы измеряем параметры центральной тенденции или отвечаем, где находятся наши образцы баллов. Чтобы понять это, мы должны построить наши оценки, начинающиеся с 0 в середине, и графики 1, + 2 и +3, стандартные отклонения справа и -1, -2 и -3 слева, со ссылкой на среднее значение. " Zero "означает среднее значение распределения. (Многие хедж-фонды реализуют математические стратегии. Чтобы узнать больше, прочитайте Количественный анализ хедж-фондов и Многомерные модели: анализ Монте-Карло .)

Стандартное отклонение и отклонение
Если значения соответствуют нормальному шаблону, мы найдем, что 68% всех оценок будут находиться в пределах -1 и +1 стандартных отклонений, 95% попадают в два стандартных отклонения и 99% относятся к трем стандартным отклонениям среднего значения. Но этого недостаточно, чтобы рассказать нам о кривой. Нам нужно определить фактическую дисперсию и другие количественные и качественные факторы. Разница отвечает на вопрос о распространении нашего распределения. Это влияет на возможности того, почему выбросы могут существовать в нашем образце и помогают нам понять эти выбросы и как их можно идентифицировать.Например, если значение имеет шесть стандартных отклонений выше или ниже среднего, его можно классифицировать как выброс для целей анализа.

Стандартные отклонения являются важной метрикой, которая является просто квадратными корнями дисперсии. Современные термины называют эту дисперсию. В гауссовском распределении, если мы знаем среднее и стандартное отклонение, мы можем узнать процентные доли баллов, которые попадают в плюс или минус 1, 2 или 3 стандартных отклонения от среднего. Это называется доверительным интервалом. Так мы знаем, что 68% распределений находятся в пределах стандартного отклонения плюс или минус 1, 95% в пределах плюс или минус два стандартных отклонения и 99% в пределах плюс или минус 3 стандартных отклонения. Гаусс называл эти «вероятностные функции». (Более подробную информацию о статистическом анализе см. Понимание мер волатильности .)

Косые и эксцессы
До сих пор эта статья посвящена объяснению среднего и различных вычислений, которые помогут нам объяснить это более тесно. Как только мы построили наши оценки распределения, мы в основном рисовали нашу колоколообразную кривую выше всех оценок, предполагая, что они обладают характеристиками нормальности. Поэтому этого недостаточно, потому что у нас есть хвосты на нашей кривой, которые нуждаются в объяснении, чтобы лучше понять всю кривую. Чтобы сделать это, мы переходим к третьему и четвертому моментам статистики распределения, называемым косой и эксцессом.

Подкожность хвостов измеряет асимметрию распределения. Положительный перекос имеет отклонение от среднего значения, которое является положительным и искаженным вправо, в то время как отрицательный косой имеет отклонение от среднего перекоса влево - по существу, распределение имеет тенденцию к перекос на определенной стороне среднего. Симметричное перекос имеет 0 дисперсию, которая образует идеальное нормальное распределение. Когда кривая колокола рисуется сначала длинным хвостом, это положительно. Длинный хвост в начале перед куском кривой колокола считается отрицательно искаженным. Если распределение симметрично, сумма кубических отклонений выше среднего будет балансировать кубические отклонения ниже среднего. Скошенное правое распределение будет иметь косые больше нуля, в то время как перекошенное левое распределение будет иметь перекос меньше нуля. (Кривая может быть мощным торговым инструментом: для более близкого чтения см. Риск фондового рынка: прошивание хвостов .)

Куртос объясняет характеристики концентрации пиков и значений концентрации. Отрицательный избыток эксцесса, называемый platykurtosis, характеризуется как довольно плоское распределение, где меньшая концентрация значений вокруг среднего и хвосты значительно более толстые, чем мезокурическое (нормальное) распределение. С другой стороны, распределение лептокуритов содержит тонкие хвосты, так как большая часть данных сосредоточена в среднем.

Скот более важен для оценки торговых позиций, чем эксцесс. Анализ ценных бумаг с фиксированным доходом требует тщательного статистического анализа для определения волатильности портфеля при изменении процентных ставок. Модели для прогнозирования направления движений должны учитывать асимметрию и эксцесс, чтобы прогнозировать эффективность портфеля облигаций.Эти статистические концепции далее применяются для определения колебаний цен для многих других финансовых инструментов, таких как акции, опционы и валютные пары. Скисы используются для измерения опционных цен путем измерения подразумеваемых волатильностей.

Применение этого метода к торговле
Волатильность стандартных отклонений и вопрос о том, какие ожидаемые результаты можно ожидать. Меньшие стандартные отклонения могут означать меньший риск для акций, в то время как более высокая волатильность может означать более высокий уровень неопределенности. Трейдеры могут измерять цены закрытия из среднего, поскольку они диспергированы от среднего. Дисперсия затем будет измерять разницу от фактического значения до среднего значения. Большая разница между ними означает более высокое стандартное отклонение и волатильность. Цены, которые отклоняются далеко от среднего, часто возвращаются к среднему значению, так что трейдеры могут воспользоваться этими ситуациями. Цены, которые торгуются в небольшом диапазоне, готовы к прорыву.

Часто используемым техническим индикатором для сделок стандартного отклонения является Bollinger Band®, поскольку они являются мерой волатильности, установленной на двух стандартных отклонениях для верхних и нижних диапазонов с 21-дневной скользящей средней. Распределение Гаусса было только началом понимания рыночных вероятностей. Позднее он привел к серии Time Series и Garch Models, а также к большим искажениям, например, волатильности Smile.