Распределение Normal (Bell Curve)

Наборы данных (например, высота 100 человек, метки, полученные 45 учениками в классе и т. Д.) Имеют тенденцию иметь много значений в одной точке данных или в том же диапазоне. Это распределение точек данных называется распределением нормальной или колоколообразной кривой. Например, в группе из 100 особей, 10 могут быть ниже 5 футов в высоту, 65 могут стоять между 5 и 5. 5 футами и 25 могут быть выше 5. 5 футов. Это распределение по диапазону может быть построено следующим образом:

Аналогично, точки данных, построенные на графиках для любого заданного набора данных, могут напоминать разные типы распределений. Три из наиболее распространенных выровнены по левому краю, выравниваются по правому краю и смешаны:

Обратите внимание на красную линию тренда на каждом из этих графиков. Это примерно указывает тренд распределения данных. Первое, «LEFT Aligned Distribution», указывает, что большинство точек данных попадает в более низкий диапазон. Во втором графе «RIGHT Aligned Distribution» большинство точек данных попадают в более высокий конец диапазона, а последний «Jumbled Distribution» представляет собой смешанный набор данных без четкой тенденции.

Есть много случаев, когда распределение точек данных имеет тенденцию находиться вокруг центрального значения, и этот график показывает идеальное нормальное распределение, одинаково сбалансированное с обеих сторон с наибольшим количеством точек данных сосредоточены в центре.

Вот идеальный, нормально распределенный набор данных.

Центральное значение здесь 50, которое имеет наибольшее количество точек данных, а распределение сужается равномерно до крайних значений конца 0 и 100, которые имеют наименьшее количество точек данных. Нормальное распределение симметрично вокруг центрального значения с половиной значений с каждой стороны.

Множество примеров реальной жизни соответствуют распределению колоколообразной кривой:

• Много раз бросайте честную монету (скажем, 100 раз и более), и вы получите сбалансированное нормальное распределение голов и хвостов.
• Бросьте пару честных кубиков много раз (скажем, 100 раз и более), и результат будет сбалансированным, нормальным распределением, сосредоточенным вокруг числа 7 и равномерно сужающимся к значениям экстремального конца 2 и 12.
• высота индивидуумов в группе значительных размеров и следов, полученных людьми в классе, следуют нормальным образцам распределения.
• В финансовой сфере изменения в значениях журналакурсов форекс, индексов цен и цен на акции считаются обычно распределенными.

Отношение к финансам и инвестициям

Любые инвестиции имеют два аспекта: риск и доходность. Инвесторы ищут минимально возможный риск для максимально возможного возврата. Нормальное распределение количественно оценивает эти два аспекта по средним значениям доходности и стандартного отклонения для риска.(Подробнее см. Ниже: Средневзвешенный анализ .)

Среднее значение или Ожидаемое значение

Среднее изменение цены конкретной акции может составлять 1,5% на ежедневной основе - что означает, что в среднем оно увеличивается на 1,5%. Это среднее значение или ожидаемое значение, означающее возврат, можно получить, вычислив среднее значение на достаточно большом наборе данных, содержащем исторические суточные изменения цен на этот запас. Чем выше среднее, тем лучше.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение указывает количество, на которое значения отклоняются в среднем от среднего. Чем выше стандартное отклонение, тем рискованнее инвестиции, так как это приводит к большей неопределенности.

Вот графическое представление того же:

Следовательно, графическое представление нормального распределения через его среднее и стандартное отклонение позволяет отображать как доходность, так и риск в пределах четко определенного диапазона.

Это помогает знать (и быть уверенным с уверенностью), что, если какой-то набор данных следует нормальному шаблону распределения, его среднее значение позволит нам узнать, чего ожидать, и его стандартное отклонение позволит нам узнать, что около 68% значения будут находиться в пределах 1 стандартного отклонения, 95% в пределах 2 стандартных отклонений и 99% значений будут находиться в пределах 3 стандартных отклонений. Набор данных, который имеет значение 1,5 и стандартное отклонение 1, намного более рискован, чем другой набор данных, имеющий среднее значение 1,5 и стандартное отклонение 0. 1.

Знание этих значений для каждого выбранного актива (то есть запасов, облигаций и средства) проинформирует инвестора о ожидаемых доходах и рисках.

Легко применять эту концепцию и представлять риск и доходность на одном складе, облигации или фонде, но может ли это быть распространено на портфель нескольких активов?

Лица начинают торговать, покупая единую акцию или облигацию, или инвестируя в взаимный фонд. Постепенно они стремятся увеличить свои запасы и покупать несколько акций, фондов или других активов, тем самым создавая портфель. В этом поэтапном сценарии люди строят свои портфели без стратегии или много предусмотрительности. Профессиональные менеджеры фондов, трейдеры и маркет-мейкеры следуют систематическому методу построения своего портфеля с использованием математического подхода, называемого современной моделью портфеля (MPT), который основан на концепции «нормального распределения». «

Современная теория портфеля

Современная теория портфеля предлагает систематический математический подход, целью которого является максимизировать ожидаемую доходность портфеля для заданной суммы портфельного риска путем выбора пропорций различных активов. В качестве альтернативы он также предлагает минимизировать риск для заданного уровня ожидаемой отдачи.

Для достижения этой цели активы, которые должны быть включены в портфель, не должны выбираться исключительно на основе их собственных индивидуальных достоинств, а вместо этого на то, как каждый актив будет действовать по отношению к другим активам в портфеле.

В двух словах MPT определяет, как наилучшим образом достичь диверсификации портфеля для достижения наилучших результатов: максимальная доходность для приемлемого уровня риска или минимальный риск для желаемого уровня доходности.

Строительные блоки

MPT была такой революционной концепцией, когда было представлено, что ее изобретатели получили Нобелевскую премию. Эта теория успешно предоставила математическую формулу для диверсификации инвестиций.

Диверсификация - это метод управления рисками, который устраняет риск «всех яиц в одной корзине» путем инвестирования в некоррелированные запасы, сектора или классы активов. В идеальном случае положительная эффективность одного актива в портфеле отменяет отрицательную эффективность других активов.

Чтобы взять средний доход портфеля с n различными активами, рассчитывается пропорционально-взвешенная комбинация возвратов учредительных активов. Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общий доход портфеля (R _p ) рассчитывается как:

сумма (Σ), где w _i - пропорциональный вес актив i в портфеле, R _i является возвратом (средним) актива i.

Риск портфеля (или стандартное отклонение) является функцией корреляции включенных активов для всех пар активов (по отношению друг к другу в паре). Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общий риск портфеля (Std-dev) _p вычисляется как:

где cor-cof - коэффициент корреляции между доходами активов i и j, и sqrt является квадратным корнем.

Это обеспечивает относительную производительность каждого актива по отношению к другому.

Несмотря на то, что математика сложна, простая применяемая здесь концепция включает в себя не только стандартные отклонения отдельных активов, но и связанные друг с другом.

Хороший пример можно найти здесь из Вашингтонского университета.

Быстрый пример

Как мысленный эксперимент, представим себе, что мы являемся менеджером портфеля, которому был предоставлен капитал, и ему поручено, сколько капитала должно быть выделено двум доступным активам (A & B), чтобы ожидаемые возврат максимален, а риск - самый низкий.

Мы также имеем следующие значения:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Начиная с равного 50-50 распределения для каждого актива A & B, R

p _{вычисляет до 0. 115 и (Std-dev)} p _{достигает 0. 1323 Простое сравнение показывает, что для этого 2 портфеля активов доход, а также риск находятся на полпути между отдельными значениями каждого актива.} Однако наша цель состоит в том, чтобы улучшить возврат портфеля за пределы простого среднего или отдельного актива и снизить риск, чтобы он был ниже, чем у отдельных активов.

Давайте теперь возьмем позицию распределения капитала в размере 5: 5 в активе А и -0. 5 в активе B. (Отрицательное распределение капитала означает сокращение того, что акции и капитал, полученные в результате использования излишка другого актива с положительным распределением капитала, иными словами, мы замыкаем запас B на 0.5 раз капитала и использовать эти деньги для покупки акции A на сумму 1. 5 раз капитала.)

Используя эти значения, мы получаем R

p _{как 0. 1604 и (Std-dev) < p} как 0. 4005. _{Аналогичным образом, мы можем продолжать использовать различные весовые коэффициенты распределения для актива A & B и получать различные наборы Rp и (Std-dev) p. Согласно желаемому возврату (Rp), можно выбрать наилучший приемлемый уровень риска (std-dev) p. В качестве альтернативы, для желаемого уровня риска можно выбрать лучший доступный возврат портфеля. В любом случае, благодаря этой математической модели теории портфолио, можно достичь цели создания эффективного портфеля с желаемой комбинацией риска и возврата.} Использование автоматизированных инструментов позволяет легко и плавно обнаруживать наилучшие возможные распределенные пропорции без необходимости длительных ручных вычислений.

Эффективная граница, модель ценообразования капитала (CAPM) и цена активов с использованием MPT также развиваются из той же нормальной модели распределения и являются продолжением MPT.

Проблемы с MPT (и базовое нормальное распределение):

К сожалению, математическая модель не идеальна, и у каждого есть недостатки и ограничения.

Исходное предположение о том, что цена акций возвращается к нормальному распределению, ставится под сомнение снова и снова. Существует достаточное эмпирическое доказательство случаев, когда значения не соответствуют предполагаемому нормальному распределению. Основываясь на сложных моделях при таких допущениях, можно привести к результатам с большими отклонениями.

В дальнейшем в MPT расчеты и предположения о коэффициенте корреляции и ковариации, оставшиеся фиксированными (на основе исторических данных), могут не всегда иметь место для будущих ожидаемых значений. Например, на рынке облигаций и фондовых рынков наблюдалась отличная корреляция на рынке Великобритании в период с 2001 по 2004 год, когда доходность обоих активов снижалась одновременно. На самом деле обратное наблюдалось в течение длительных исторических периодов до 2001 года.

Поведение инвестора не учитывается в этой математической модели. Налоги и трансакционные издержки пренебрегают, даже если предполагается дробное распределение капитала и возможность блокирования активов.

В действительности, ни одно из этих предположений не может быть правдой, а это означает, что реализованная финансовая прибыль может значительно отличаться от ожидаемой прибыли.

Итог:

Математические модели обеспечивают хороший механизм для количественной оценки некоторых переменных с одиночными отслеживаемыми числами. Но из-за ограничений допущений модели могут потерпеть неудачу. Нормальное распространение, которое составляет основу теории портфеля, может не обязательно применяться к акциям и другим паритетам цен на финансовые активы. Теория портфеля сама по себе имеет множество предположений, которые должны быть критически рассмотрены, прежде чем принимать важные финансовые решения.