Очень сложно договориться о точной оценке любого торгуемого актива, даже в настоящее время. Вот почему цены на акции постоянно меняются. На самом деле компания практически не меняет свою оценку на ежедневной основе, но цена акций и их оценка меняются каждую секунду. Это показывает, что трудно достичь консенсуса относительно текущей цены за любой торгуемый актив, что приводит к возможности арбитража. Однако эти возможности арбитража на самом деле недолговечны.

Все это сводится к сегодняшней оценке - какова сегодняшняя текущая цена для ожидаемой будущей выплаты?

На конкурентном рынке, чтобы избежать возможностей арбитража, активы с идентичными структурами выплат должны иметь одинаковую цену. Оценка вариантов была сложной задачей, и наблюдаются высокие колебания цен, что приводит к возможности арбитража. Black-Scholes остается одной из самых популярных моделей, используемых для вариантов ценообразования, но имеет свои собственные ограничения. (Для получения дополнительной информации см .: Варианты ценообразования ). Модель ценообразования опционов Binomial - еще один популярный метод, используемый для вариантов ценообразования. В этой статье обсуждаются несколько полных пошаговых примеров и объясняется основополагающая концепция нейтрального риска при применении этой модели. (Для соответствующего чтения см. Разбивка биномиальной модели для оценки опции ).

В этой статье предполагается знакомство пользователя с опциями и связанными с ними понятиями и терминами.

Предположим, что существует опцион колл на конкретном складе, текущая рыночная цена которого составляет 100 долларов США. Опция ОрВД имеет цену исполнения 100 долларов США со временем до истечения одного года. Есть два трейдера: Питер и Пол, которые согласны с тем, что цена акций либо вырастет до 110 долларов, либо упадет до 90 долларов за год. Они оба согласны с ожидаемыми уровнями цен за определенный промежуток времени в один год, но не согласны с вероятностью движения вверх (и вниз). Питер полагает, что вероятность того, что цена акций составит 110 долларов, составляет 60%, а Пол считает, что это 40%.

Исходя из вышесказанного, кто был бы готов заплатить больше цены за опцион колл?

Возможно, Питер, поскольку он ожидает высокой вероятности восходящего движения.

Посмотрим на вычисления, чтобы проверить и понять это. Два актива, на которых зависит оценка, - это опцион колл и базовый запас. Существует соглашение между участниками о том, что базовая цена акций может переместиться с текущих 100 долл. США до 110 долл. США или 90 долл. США за один год, и нет никаких других возможных ценовых движений.

В мире без арбитража, если нам нужно создать портфель, состоящий из этих двух активов (опцион колл и базовый капитал), так что независимо от того, где находится базовая цена (110 или 90 долларов США), чистый доход по портфелю всегда остается такой же.Предположим, что мы покупаем акции «d» базовой и короткой опций одного вызова для создания этого портфеля.

Если цена будет стоить $ 110, наши акции будут стоить $ 110 * д, и мы потеряем 10 долларов за короткий выигрыш. Чистая стоимость нашего портфеля будет (110d - 10).

Если цена снизится до 90 долларов США, наши акции будут стоить 90 долларов США, а срок действия опциона истечет. Чистая стоимость нашего портфеля будет (90d).

Если мы хотим, чтобы стоимость нашего портфеля оставалась неизменной, независимо от того, где идет базовая цена акций, тогда значение нашего портфеля должно оставаться неизменным в обоих случаях: i. е. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. е. если мы покупаем половину доли (при условии, что возможны дробные покупки), нам удастся создать портфель таким образом, чтобы его стоимость оставалась одинаковой в обоих возможных состояниях в течение заданного периода времени в один год. (пункт 1)

Это значение портфеля, обозначенное (90d) или (110d -10) = 45, составляет один год ниже строки. Чтобы рассчитать его текущую стоимость, она может быть дисконтирована безрисковой доходностью (при условии 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 год) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Текущая стоимость портфеля

Так как в настоящее время портфель состоит из ½ доли базового капитала ( с рыночной ценой $ 100) и 1 короткий вызов, он должен быть равен приведенной выше стоимости i. е.

=> 1/2 * 100 - 1 * цена вызова = 42. 85

=> Цена звонка = 7 долларов США. 14 i. е. цена звонка на сегодняшний день.

Поскольку это основано на вышеприведенном предположении, что значение портфеля остается неизменным независимо от того, какая базовая цена идет (пункт 1 выше), вероятность перемещения вверх или вниз не играет здесь никакой роли. Портфель остается безрисковым, независимо от основных ценовых движений.

В обоих случаях (предполагается, что они переходят на $ 110 и вниз на $ 90), наш портфель нейтрален к риску и зарабатывает безрисковую норму прибыли.

Следовательно, оба трейдера, Питер и Пол, будут готовы заплатить те же $ 7. 14 для этого варианта вызова, независимо от их собственного восприятия вероятностей движения вверх (60% и 40%). Их индивидуально воспринимаемые вероятности не играют никакой роли в оценке опционов, как видно из приведенного выше примера.

Если предположить, что индивидуальные вероятности имеют значение, тогда существовали бы возможности арбитража. В реальном мире такие возможности арбитража существуют с незначительными различиями в цене и исчезают в краткосрочной перспективе.

Но где сильно раздутая волатильность во всех этих расчетах, что является важным (и самым чувствительным) фактором, влияющим на ценообразование опциона?

Волатильность уже включена в характер определения проблемы. Помните, что мы принимаем два (и только два - и, следовательно, название «биномиальное») состояния уровней цен (110 и 90 долларов США). Волатильность подразумевается в этом предположении и поэтому автоматически включается - 10% в любом случае (в этом примере).

Теперь давайте проверим здравый смысл, чтобы убедиться, что наш подход правильный и согласованный с широко используемой ценой Black-Scholes. (См .: Модель оценки шансов Black-Scholes ).

Вот скриншоты результатов калькулятора опций (любезно предоставлены ОИК), которые точно соответствуют нашей вычисленной стоимости.

К сожалению, реальный мир не так прост, как «только два государства». Существует несколько уровней цен, которые могут быть достигнуты запасом до истечения срока.

Можно ли включить все эти множественные уровни в нашу модель биномиального ценообразования, которая ограничена только двумя уровнями? Да, это очень возможно, и, чтобы понять это, давайте перейдем к простой математике.

Несколько промежуточных этапов расчета пропущены, чтобы свести его к минимуму и сфокусировать на результатах.

Чтобы продолжить, давайте обобщим эту проблему и решение:

«X» - текущая рыночная цена акций, а «X * u» и «X * d» - будущие цены на движение вверх и вниз ' годы спустя. Коэффициент «u» будет больше 1, так как он указывает движение вверх, а «d» будет находиться между 0 и 1. Для приведенного выше примера u = 1. 1 и d = 0. 9.

Выплаты по опционам на звонки: «P _вверх » и «P _dn » для перемещения вверх и вниз по истечении срока действия.

Если мы создадим портфель «s» акций, приобретенных сегодня, и короткую опцию одного вызова, то после времени «t»:

Значение портфеля в случае перемещения вверх = s * X * u - P _up

Значение портфеля в случае down move = s * X * d - P _dn

Для аналогичной оценки в любом случае движения цены

=> s * X * u - P < вверх _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

вверх _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = нет. акций для покупки безрискового портфеля} Будущая стоимость портфеля в конце 't' лет будет

В случае up move = s * X * u - P

up _{= (P} вверх _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} up _{Значение сегодняшнего дня выше может быть получено путем дисконтирования с рисковой нормой прибыли:}

Это должно соответствовать портфелю холдинга «s» по цене X и короткому значению «c» i. е. настоящее время (s * X - c) должно соответствовать приведенному выше. Решение для c, наконец, дает c как:

ЕСЛИ МЫ КОРОТКОЕ ПРОВЕРЕНИЕ ВЫЗОВА ДОЛЖНО БЫТЬ ДОПОЛНЕНИЕ К ПОРТФОЛИО, НЕ СУБТРАКЦИЯ.

Еще один способ написать вышеприведенное уравнение состоит в следующем:

Принимая q как

, тогда выше уравнение становится

. Перестановка уравнения в терминах «q» предложила новую перспективу.

«q» теперь можно интерпретировать как вероятность восходящего движения базового (поскольку «q» связано с P

вверх _{, а «1-q» связано с P} dn _{). В целом, приведенное выше уравнение представляет собой текущую цену опциона i. е. дисконтированная стоимость его выплаты по истечении срока действия.} Как эта вероятность «q» отличается от вероятности перемещения вверх или вниз по основанию?

Значение цены акции в момент времени t = q * X * u + (1-q) * X * d

Подставляя значение q и переставляя, цена акции в момент времени t достигает

i , е. в этом предполагаемом мире двух государств цена на акции просто повышается безрисковой доходностью, т.е. е. точно так же, как безрисковый актив, и, следовательно, он не зависит от какого-либо риска.Все инвесторы безразличны к риску в рамках этой модели, и это представляет собой нейтральную для риска модель.

Вероятность «q» и «(1-q)» известна как вероятность нейтрализации риска, а метод оценки известен как модель нейтральной оценки риска.

Приведенный выше пример имеет одно важное требование - требуется будущая структура выплат с точностью (уровень $ 110 и $ 90). В реальной жизни такая ясность в отношении ступенчатых уровней цен невозможна; скорее цена движется случайным образом и может оседать на нескольких уровнях.

Далее расширим этот пример. Предположим, что возможны двухступенчатые уровни цен. Мы знаем окончательные выигрыши второго шага, и нам нужно оценить опцию сегодня (т.е. на начальном этапе)

Работая назад, промежуточная оценка первого шага (при t = 1) может быть выполнена с использованием окончательных выплат на шаге два (t = 2), а затем используя эти расчетные оценки первого шага (t = 1), сегодняшняя оценка (t = 0) может быть достигнута с использованием приведенных выше расчетов.

Чтобы получить опционную цену, нет. 2, используются выплаты в 4 и 5. Чтобы получить цену за нет. 3, используются выигрыши в 5 и 6. Наконец, рассчитанные выигрыши на 2 и 3 используются для получения цены в нет. 1.

Обратите внимание, что наш пример принимает одинаковый коэффициент для перемещения вверх (и вниз) на обоих этапах - u (и d) применяются сложным образом.

Вот рабочий пример с расчетами:

Предположим, что опцион пут с ценой исполнения $ 110 в настоящее время торгуется на уровне $ 100 и истекает через год. Годовая ставка без риска составляет 5%. Ожидается, что цена увеличится на 20% и снизится на 15% каждые шесть месяцев.

Давайте структурируем проблему:

Здесь u = 1. 2 и d = 0,85, X = 100, t = 0. 5

, используя вышеприведенную формулу

, мы получаем q = 0. 35802832

значение опции put в точке 2,

При условии P

upup _{базовое значение будет = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144, приводящий к P} upup _{= zero} При условии P

updn _{базовое значение будет = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102, приводящий к P} updn _{= $ 8} При условии P

dndn _{базовое значение будет = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 доллара. 25, приводящий к P} dndn _{= 37 долларов. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} Аналогично, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{И, следовательно, значение опции put, p} 1

= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) = _{18 долл. США. 29.} Аналогично, биномиальные модели позволяют разбить всю длительность параметра для дальнейшего уточнения нескольких этапов / уровней. Используя компьютерные программы или электронные таблицы, можно работать за один шаг за один раз, чтобы получить текущее значение желаемой опции. В заключение приведем еще один пример, включающий три шага для оценки биномиальных опционов:

Предположим, что вариант пут европейского типа, имеющий 9 месяцев до истечения срока действия с ценой исполнения $ 12 и текущей базовой ценой в 10 долларов США. Предположим, что процентная ставка без риска составляет 5% за все периоды. Предположим, что каждые 3 месяца базовая цена может перемещаться на 20% вверх или вниз, давая нам u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 и трехступенчатое биномиальное дерево.

Цифры в красном обозначают базовые цены, в то время как голубые указывают на выигрыш опциона пут.

Вероятность нейтрализации риска q вычисляется до 0. 531446.

Используя приведенное выше значение q и значения выигрыша при t = 9 месяцев, соответствующие значения при t = 6 месяцев вычисляются как:

Далее, используя эти вычисленные значения при t = 6, значения при t = 3, а затем при t = 0:

, давая текущее значение опции put как $ 2. 18, что довольно близко к той, которая была рассчитана с использованием модели Блэка-Шоулза ($ 2. 3)

Нижняя линия

Хотя использование компьютерных программ может сделать многие из этих интенсивных вычислений легкими, прогнозирование будущих цен остается основное ограничение биномиальных моделей для ценообразования опционов. Чем точнее временные интервалы, тем сложнее получить точное предсказание выигрышей в конце каждого периода. Тем не менее, гибкость для включения изменений, как ожидалось, в разные периоды времени - это один плюс плюс, что делает его подходящим для оценки американских вариантов, включая оценки ранних упражнений. Значения, рассчитанные с использованием биномиальной модели, точно совпадают с значениями, вычисленными из других широко используемых моделей, таких как Black-Scholes, что указывает на полезность и точность биномиальных моделей для ценообразования опционов. Модели биномиального ценообразования могут быть разработаны в соответствии с предпочтениями трейдера и работают как альтернатива Black-Scholes.